Μαθηματικά Β Γυμνασίου

ΘΕΜΑ 1ο
I. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα .
II. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με
0 90 = Γ και να γράψετε γι΄
αυτό το Πυθαγόρειο θεώρημα
ΘΕΜΑ 2ο
I. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο και ω μια οξεία γωνία του, να γράψετε με τι
ισούται το ημω , συνω και εφω
II. Αφού σχεδιάσετε το κατάλληλο σχήμα, να υπολογίσετε τους
τριγωνομετρικούς αριθμούς των 45ο.
α) . Να διατυπώσετε την πρόταση που λέγεται Πυθαγόρειο θεώρημα .
β) .Να συμπληρώσετε (στο γραπτό σας ) τις παρακάτω
ισότητες που προκύπτουν από το Πυθαγόρειο θεώρημα από το
διπλανό σχήμα

1. Πότε μια γωνία λέγεται:
• Εγγεγραμμένη
• Επίκεντρη
2. Ποια είναι η σχέση μεταξύ μιας εγγεγραμμένης γωνίας και της αντίστοιχης
επίκεντρης
• Δυο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες
• Δυο Κατακορυφήν γωνίες
3.Πότε δύο τόξα των 60ο είναι ίσα

ΘΕΜΑΤΑ
Θεωρία 1η
α.) Να γράψετε πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας (και σχήμα)
β.) Να γράψετε πως μεταβάλλεται το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτόμενη οξείας
γωνίας όταν μεταβάλλεται η οξεία γωνία.
Θεωρία 2η
α.) Να γράψετε πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα και πότε αντιστρόφως ανάλογα.
β.)Να γράψετε την συνάρτηση με την οποία εκφράζονται δύο ποσά που είναι ανάλογα και
την συνάρτηση με την οποία εκφράζονται δύο ποσά που είναι αντιστρόφως ανάλογα
καθώς και τι ξέρετε για τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών.
Άσκηση 1η

Να γράψετε το πυθαγόρειο θεώρημα και να κάνετε σχήμα.

Β. Να γράψετε το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος.

2. Α. Τι ονομάζουμε επίκεντρη και τι εγγεγραμμένη γωνία; Ποια σχέση τις συνδέει;

Β. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Ποιος είναι ο τύπος υπολογισμού της
κεντρικής του γωνίας;

ΖΗΤΗΜΑ 1ο
α) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αν ω είναι μια οξεία γωνία του να δώσετε τους
ορισμούς ημω, συνω και εφω .
β) Πως μεταβάλλεται το ημίτονο και το συνημίτονο όταν μεταβάλλεται η γωνία;

ΖΗΤΗΜΑ 2ο
α) Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;
β) Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx με x πραγματικό
αριθμό;

ΖΗΤΗΜΑ 3ο
Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση 6cm και περίμετρο 16cm. Να υπολογίσετε το ύψος
που αντιστοιχεί στη βάση του και το εμβαδό του.

ΘΕΜΑ 1ο
α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα (ευθύ).
β) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.
γ) Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και
∧
Γ =90ο , να συμπληρώσετε τις
παρακάτω ισότητες:
α2=…………………. , β2 =……………….. , γ2=……………….. .

ΘΕΜΑ 2ο
Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα α και κάθετες πλευρές β, γ.
α) Η πλευρά ……………… είναι η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας και η πλευρά
…………… είναι η προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας
∧
Γ
∧
Γ .
β) Να γράψετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας
∧
Γ .
γ) Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε το ημίτονο της …………………, το συνημίτονο
της …………………. και η εφαπτομένη της …………………… .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Α. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 5χ – 2(χ-1) = 3χ

β)

κλασματική εξίσωση

Β. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:
2χ – 4 > 3χ - 8 και 3(χ-1) – 2(1-χ) ≥ 5 - 4(χ-2)

2. Η διάμετρος ενός κύκλου είναι 8 cm. Να βρείτε:

Α. Την ακτίνα του κύκλου και την περίμετρο του.

Β. Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.

3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90ο και πλευρά ΒΓ=20cm. Αν ημΒ=
10
8
,
να βρείτε:

Α. Το συνΓ.

Β. Την εφΓ.

(Να απαντήσετε σ’ ένα από τα δύο θέματα θεωρίας και σε δύο από τα τρία θέματα των
ασκήσεων)
Καλή Επιτυχία

Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι γωνίες
είναι ανάλογες με τους αριθμούς 9 , 6 , 3 αντίστοιχα.
α.) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με .
Γˆ , Bˆ , Aˆ
0 90 Aˆ =
β.) Αν
και
να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το
ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.
cm 4 AB =
5,0

)

Άσκηση 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι γωνίες
είναι ανάλογες με τους αριθμούς 9 , 6 , 3 αντίστοιχα.
α.) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με .
Γˆ , Bˆ , Aˆ
0 90 Aˆ =
β.) Αν
και
να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το
ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.
cm 4 AB =
5,0 30 ημ 0 =

Άσκηση 3η Γ
Έστω κύκλος
( και διάμετρος αυτού
ρ,O AB
Αν Γ ένα σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε
το τόξο
ο 74 ΓA =
)
, η χορδή 6 m6 ΑΓ = o 74 m
και η χορδή . m8 ΓB =
α.) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου
και να δικαιολογήσετε την Α 0 Β
Γ AB
απάντησή σας.
β.) Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου
και το εμβαδόν του.

ΖΗΤΗΜΑ 1ο
α) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αν ω είναι μια οξεία γωνία του να δώσετε τους
ορισμούς ημω, συνω και εφω .
β) Πως μεταβάλλεται το ημίτονο και το συνημίτονο όταν μεταβάλλεται η γωνία;

ΖΗΤΗΜΑ 2ο
α) Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;
β) Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx με x πραγματικό
αριθμό;

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση 6cm και περίμετρο 16cm. Να υπολογίσετε το ύψος
που αντιστοιχεί στη βάση του και το εμβαδό του.
Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α= 4cm.
Με κέντρο Α και ακτίνα α γράφουμε εσωτερικά τόξο, όπως στο σχήμα.

α) Να υπολογίσετε την περίμετρο του
γραμμοσκιασμένου σχήματος.
β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου.

Δίνεται κύκλος (Κ,6cm) και μια εγγεγραμμένη γωνία ΑΓΒ=60ο . Να υπολογίσετε
I. :το μήκος του τόξου ΑΒ
II. Το μήκος του κύκλου
III. Το εμβαδόν του κύκλου

ΘΕΜΑ 1ο
α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα (ευθύ).
β) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.
γ) Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και
∧
Γ =90ο , να συμπληρώσετε τις
παρακάτω ισότητες:
α2=…………………. , β2 =……………….. , γ2=……………….. .

ΘΕΜΑ 2ο
Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα α και κάθετες πλευρές β, γ.
α) Η πλευρά ……………… είναι η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας και η πλευρά
…………… είναι η προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας
∧
Γ
∧
Γ .
β) Να γράψετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας
∧
Γ .
γ) Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε το ημίτονο της …………………, το συνημίτονο
της …………………. και η εφαπτομένη της …………………… .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο
Αν Α=
10 )] 5 3 1 2( )2 : 18 4 1 ( )2 1 ( 3 [ − − + − +
− − − − −
− ⋅ − −
και Β=
,
να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ=(Α+Β2007+1)2 - (Α-10)2.
)1 2 ( 10 6 5
3 ] 3 : ) 3 3 [(
+ − ⋅ ⋅ −

ΘΕΜΑ 2ο
Να λύσετε την εξίσωση:
)1 (2
4
3
− =
+
− x
x
x

ΘΕΜΑ 3ο
Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο, με ΒΓ=3 cm και ΑΓ= 5 cm.
Γ
A
Δ
B
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ημικυκλίου που έχει διάμετρο την ΑΒ.

ΘΕΜΑ 1Ο:α)Να διατυπώσετε τους ορισμούς της επίκεντρης και της
εγγεγραμμένης γωνίας.
β)Ποια σχέση ικανοποιούν η επίκεντρη και η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνουν
στο ίδιο τόξο;

ΘΕΜΑ 2Ο:α)Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
β)Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1Ο:α)Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία Α και να
υπολογίσετε τη διάμετρο δ του ημικυκλίου.
β)Να βρείτε το μήκος του ημικυκλίου και το εμβαδό της σκιασμένης επιφάνειας.

ΘΕΜΑ 2Ο:Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:

ΘΕΜΑ 3Ο:Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων:

3
+

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Να απαντηθούν: ένα θέμα θεωρίας και δύο θέματα ασκήσεων.

Ονοματεπώνυμο…………………………………………………………………………………
ΘΕΩΡΙΑ 1
Αν ω μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Α= ) να γράψετε τους ορισμούς
των τριγωνομετρικών αριθμών
0 90
(α) ημω,
(β) συνω,
(γ) εφω
Σχεδιάστε κατάλληλο σχήμα.

ΘΕΩΡΙΑ 2
(α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να γράψετε την ισότητα που προκύπτει από
αυτό σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= ) . Σχεδιάστε κατάλληλο σχήμα.
0 90
(β) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος.
ΑΣΚΗΣΗ 1
Αν χ=2 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης

3 0 2 )3 ( : 9 )3 ( 2 3 2
− − + − + − ⋅ − ⋅ + ⋅ = Α
χ
χ
χ
χ χ

ΑΣΗΣΗ 2
(α) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων
2
1
12
6
3
1 2
−
≥
−
−
−χχχ και χχ
5 4 3 > +
(β) Να παραστήσετε γραφικά τις κοινές λύσεις.
(γ) Να βρείτε το μεγαλύτερο ακέραιο που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο αυτές ανισώσεις.
ΑΣΚΗΣΗ 3
Δίνετε κύκλος ( Κ,5cm) και μια χορδή του ΑΒ=6cm και η
διάμετρος του ΒΓ.
A
Να υπολογίσετε:
(α) Το μήκος του τόξου ΒΓ
(β) Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου εντός του κυκλικού δίσκου και
εκτός του τριγώνου.
B
Κ
Γ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Να γράψετε ένα (1) θέμα θεωρίας και δύο (2) ασκήσεις
1

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2007
ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΑΞΗ: Β’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ

ΜΕΡΟΣ Α: ΘΕΩΡΙΕΣ

Θεωρία 1η

i) Πότε μία γωνία λέγεται επίκεντρη και πότε εγγεγραμμένη;

(μονάδες 1,66)

ii) Ποια η σχέση της εγγεγραμμένης γωνίας προς την επίκεντρη που αντιστοιχεί στο ίδιο τόξο: Να
αποδειχθεί στην περίπτωση που η πλευρά της εγγεγραμμένης περιέχει το κέντρο του κύκλου

(μονάδες 5)

Θεωρία 2η

i) Πως μεταβάλλεται το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας όταν
μεταβάλλεται η γωνία;
(μονάδες 2,66)